デルタ 関数 積分。 デルタ関数まとめ

さらに ,どんな関数を使っても における値 しか拾ってこないことから , 以外の区間での の値はデルタ関数によって無効化されていることになる. 何かすごそうな関係に思えるのだが , 3 式の の部分にそのままデルタ関数を当てはめて ,あとは偶関数的な性質を使って見た目を整えてみただけのものだ. また,積分はルベーグ積分として考えます。

一般的に,f x の方は局所可積分な関数であれはいいのです。

具体例で試してみる 今導入した方法で本当にデルタ関数のフーリエ変換が定義できるのかを試してみよう. 絶対可積分というのは関数の絶対値を取って積分したものが発散しないということであり ,次のように書かれる. ところで ,途中に無限大になる場所があっても積分値が有限であるような関数は普通にある. 実は先ほどの変数変換は の場合には次のように計算しなくてはならないのである. ここで、散乱が起こる時間を 、散乱が起こる空間の体積を とすると、さきほどの始状態のブラケットのでは、係数 をかけました。

つまり ,あらゆる波長の波が均等に混じり合ったものがデルタ関数であるというようなイメージである. 厳密には,超関数として定義します。

関数はベクトルの一種であって ,線形代数で議論できる対象であるという話を少し前から時々話してきた. 上の定義のところに ,常に 1 であるような関数 を当てはめてみる. の微分は となるので , 7 式の右辺にあったマイナスが相殺されているのである. 超関数のフーリエ変換の定義がまだされていないのにこんな変形をしても良いのかと思うわけだが ,とりあえず該当部分を という記号で表してみたというだけの話である. 超関数は英語では「distribution」と呼ばれており ,「分布」という意味である.。

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